prompt listlengths 1 1 | answer stringlengths 3 353 | difficulty stringclasses 3
values | is_proof bool 2
classes | source_exercise_id stringlengths 1 4 | sub_part float64 1 20 ⌀ |
|---|---|---|---|---|---|
[
{
"role": "user",
"content": "Effectuer les calculs suivants :\n$(3+2i)(1-3i)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $9-7i$ | introductory | false | 7 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Effectuer les calculs suivants :\n$\\frac{3+2i}{1-3i}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-0{,}3+1{,}1i$ | introductory | false | 7 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Effectuer les calculs suivants :\nQuotient du nombre complexe de module $2$ et d'argument $\\pi /3$ par le\nnombre complexe de module $3$ et d'argument $-5\\pi /6$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement ... | $-\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{i}{3}$ | intermediate | false | 7 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $(\\cos (\\pi/7) + i \\sin (\\pi/7))\\left(\\frac{1-i\\sqrt{3}}{2}\\right)(1+i)$ et exprimer le résultat sous forme trigonométrique.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}... | $\sqrt{2}(\cos(5\pi/84)+i\sin(5\pi/84))$ | intermediate | true | 10 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $z$ un nombre complexe de module $\\rho$,\nd'argument $\\theta$, et soit $\\overline{z}$ son conjugué.\nCalculer\n$(z+\\overline{z})(z^2+\\overline{z}^2)\\ldots(z^n+\\overline{z}^n)$\nen fonction de $\\rho$ et $\\theta$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine p... | $2^n \rho^{\frac{n(n+1)}{2}} \prod_{k=1}^n \cos(k\theta)$ | intermediate | false | 20 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la somme $\\sum_{p=0}^n C_{n}^p \\cos[p\\alpha + (n-p)\\beta]$ pour $n \\in \\mathbb{N}$ et $\\alpha, \\beta \\in \\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2^n\cos^n\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(n\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ | advanced | true | 21 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Mettre sous forme trigonométrique $1 + e^{i\\theta}$ où $\\theta \\in ]-\\pi,\\pi [$.\nDonner une interprétation géométrique.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2\cos \frac{\theta}{2} \cdot e^{i\frac{\theta}{2}}$ | intermediate | false | 23 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer la solution $z$ de l'équation $z^3 = \\frac{1}{4}(-1+i)$ telle que $z^4$ soit un nombre réel.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $z_0 = \frac{1}{2}(1+i)$ | advanced | true | 42 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $A$, $B$, $C$ trois points du plan complexe d'affixes $a$, $b$, $c$. À quelle condition sur $a$, $b$, $c$ le triangle $ABC$ est-il équilatéral orienté dans le sens direct ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenan... | $a + j^2b + jc = 0$ | advanced | true | 67 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la somme $1 + \\omega_1 + \\omega_1^2 + \\omega_1^3 + \\omega_1^4$ où $\\omega_1 = e^{\\frac{2i\\pi}{5}}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1 + \omega_1 + \omega_1^2 + \omega_1^3 + \omega_1^4 = 0$ | intermediate | true | 77 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\cos\\left(\\frac{2\\pi}{5}\\right)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ | advanced | true | 77 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité, de sommets d'affixes $\\omega_k = e^{i\\frac{2\\pi k}{5}}$ pour $k=0,\\dots,4$. Soit $B$ le point d'affixe $-1$. Calculer la distance $BA_2$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\... | $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ | advanced | true | 77 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre dans $\\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:\n\\begin{eqnarray*}\n\\cos(5x) + \\cos(3x) \\leq \\cos(x) \\\\\n2\\cos^2(x) -9\\cos(x)\n+4 >0.\n\\end{eqnarray*}\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniqueme... | $x \in \left]-\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{6} + 2k\pi\right[$, $k \in \mathbb{Z}$ | intermediate | false | 91 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre dans $\\mathbb{R}$ les équations suivantes:\n$\\cos^4(x)-\\sin^4(x)=1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $x = k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$ | intermediate | false | 92 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer tous les éléments inversibles de $\\mathbb{Z}[i] = \\{ a+ib \\mid a,b \\in \\mathbb{Z} \\}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1, -1, i, -i$ | intermediate | true | 96 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\omega \\in \\mathbb{C}$. Déterminer le plus petit réel $r > 0$ tel qu'il existe $\\alpha \\in \\mathbb{Z}[i]$ avec $|\\omega - \\alpha| \\leq r$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse ... | $|\omega - \alpha| < 1$ | intermediate | true | 96 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\sum_{k=1}^n k^2$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}^*$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ | intermediate | true | 153 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\sum_{k=1}^n k^2$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}^*$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ | intermediate | true | 153 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Combien de régions le plan est-il divisé en par trois droites en position générale ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $R_3 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = 7$ | intermediate | true | 156 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Combien de nouvelles régions sont ajoutées lorsqu'on ajoute la $n$-ième droite à un ensemble de $n-1$ droites en position générale (aucune deux parallèles, aucune trois concourantes) ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » c... | $R_n = R_{n-1} + n$ | intermediate | true | 156 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Combien de régions délimitent $n$ droites en position générale (aucune deux parallèles, aucune trois concourantes) dans le plan ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{n(n+1)}{2}+1$ | intermediate | true | 156 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f \\in \\mathcal{F}(X, X)$ bijective. Pour $n \\in \\mathbb{N}$, déterminer l'expression de $(f^{-1})^n$ en fonction de $f^n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $(f^{-1})^n = (f^n)^{-1}$ | intermediate | true | 157 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $g : [-1,1] \\to [-1,1]$ définie par $g(x) = \\frac{2x}{1+x^2}$. Déterminer l'inverse de $g$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $h(y) = \frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}$ si $y\neq0$ et $h(0)=0$ | intermediate | true | 191 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f_{a,b}(x) = ax + b$ avec $a \\ne 0$. Déterminer l'expression de la fonction réciproque de $f_{a,b}$ sous la forme $f_{c,d}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $f_{a,b}^{-1} = f_{\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}}$ | intermediate | true | 198 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Montrer que pour tout entier $n$ et tout entier $p \\leq n$, on a $C_n^{n-p} = C_n^p$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $C_n^{n-p} = C_n^p$ | intermediate | true | 230 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $C_n^{n-p}$ en fonction de $C_n^p$ pour $0 \\leq p \\leq n$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $C_n^{n-p} = C_n^p$ | intermediate | true | 230 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments, et\n$A\\subset E$ un sous-ensemble à $p$ éléments. Quel est le\nnombre de parties de $E$ qui contiennent un et un seul élément\nde $A$ ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant un... | $p2^{n-p}$ | intermediate | false | 237 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Combien $15!$ admet-il de diviseurs ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $4032$ | intermediate | false | 249 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Trouver le reste de la division par $13$ du nombre $100^{1000}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $9$ | intermediate | false | 250 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer le pgcd des nombres suivants :\n126, 230.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2$ | introductory | false | 290 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer le pgcd des nombres suivants :\n390, 720, 450.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $30$ | introductory | false | 290 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer le pgcd des nombres suivants :\n180, 606, 750.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $6$ | introductory | false | 290 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer l'ensemble de tous les couples $(m,n)$ tels que\n$$ 955m+183n=1.$$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $(m,n) = (-32 - 83k, 167 + 37k)$ pour $k \in \mathbb{Z}$ | intermediate | false | 298 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Notons $a=1\\;111\\;111\\;111$ et $b=123\\;456\\;789$.\nCalculer $p=\\, \\text{pgcd}(a,b)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1$ | intermediate | false | 303 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Donner un exemple de nombre premier de la forme $4k+3$ avec $k \\in \\mathbb{N}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $11$ | introductory | true | 348 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer le produit de deux entiers de la forme $4k+1$ et $4\\ell+1$, et exprimer le résultat sous la forme $4k'+1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $4k'+1$ avec $k' = 4k\ell + k + \ell$ | intermediate | true | 348 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la valeur de $2^{2^5} + 1$ et déterminer si elle est première.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2^{2^5} + 1 = 641 \times 6700417$ | advanced | true | 349 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Effectuer la division selon les puissances\ncroissantes de :\n$$X^{4}+X^{3}-2X+1\\text{ par }X^{2}+X+1 \\text{ à l'ordre }2.$$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $(X^{2}+X+1)(2X^{2}-3X+1)+X^{3}(2-X)$ | intermediate | false | 366 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer le polynôme $P$ de degré minimal tel que $P+1$ soit divisible par $(X-1)^4$ et $P-1$ par $(X+1)^4$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $P_0 = \frac{5}{16}X^7 - \frac{21}{16}X^5 + \frac{35}{16}X^3 - \frac{35}{16}X$ | advanced | true | 370 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer tous les polynômes $P$ tels que $(X-1)^4$ divise $P+1$ et $(X+1)^4$ divise $P-1$. Donner une expression explicite de ces polynômes.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
... | $P(X) = \frac{5}{16}X^7 - \frac{21}{16}X^5 + \frac{35}{16}X^3 - \frac{35}{16}X + C\cdot(X^2-1)^3$ | advanced | true | 370 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer pgcd$(P,Q)$ lorsque :\n$P=X^3-X^2-X-2$ et $Q=X^5-2X^4+X^2-X-2$,\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $X-2$ | intermediate | false | 379 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer pgcd$(P,Q)$ lorsque :\n$P=X^4+X^3-2X+1$ et $Q=X^3+X+1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1$ | intermediate | false | 379 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer dans $\\mathbb{R}[X]$, sans déterminer ses racines,\nle polynôme $P = X^4+1$, en produit de facteurs irréductibles.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\left(x^{2}+\sqrt{2}x+1\right)\left(x^{2}-\sqrt{2}x+1\right)$ | intermediate | false | 401 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Pour quelle valeur de $a$ le polynôme $(X+1)^7 - X^7 - a$ admet-il une racine multiple réelle ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{1}{64}$ | advanced | true | 410 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Factoriser dans $\\mathbb{R}[X]$ :\n$X^9 + X^6 + X^3 + 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-\left( X^{2}+1 \right) \left( X^{2}-X+1 \right) \left( X^{2}+X\sqrt{3}+1 \right) \left( -X^{2}+X\sqrt{3}-1 \right) \left( X+1 \right)$ | advanced | false | 423 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Trouver un polynôme~$P$ de degré~$\\leq2$ tel que\n$$P(1)=-2 \\quad \\mbox{et} \\quad P(-2)=3 \\quad \\mbox{et} \\quad P(0)=-1$$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $P = \frac{1}{3}(X^2 - 4X - 3)$ | intermediate | false | 426 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Trouver le polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ tel que :\n$$P(0)=1\\quad\\text{et}\\quad P(1)=0\\quad\\text{et}\\quad P(-1)=-2\\quad\\text{et}\\quad P(2)=4.$$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquem... | $P(X)=\frac{3}{2}X^3-2X^2-\frac{1}{2}X+1$ | intermediate | false | 427 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $X^2 - 2X - 1 - \frac{5}{X-1}$ | intermediate | false | 444 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-3X+2}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2X+7-\frac{3}{X-1}+\frac{19}{X-2}$ | intermediate | false | 444 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-2X+1}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2X+5+\frac{3}{(X-1)^2}+\frac{7}{X-1}$ | intermediate | false | 444 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{X^4+2X^2+1}{X^2-1}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $X^2+3+\frac{2}{X-1}-\frac{2}{X+1}$ | intermediate | false | 444 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{X}{X^2-4}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{1/2}{X+2} + \frac{1/2}{X-2}$ | intermediate | false | 444 | 5 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $X^2+X+1-\frac{1}{X}+\frac{1/2}{X+1}+\frac{3/2}{X-1}$ | intermediate | false | 444 | 6 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{X^5+X^4+1}{X(X-1)^4}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1 + \frac{1}{X} + \frac{3}{(X-1)^4} + \frac{6}{(X-1)^3} + \frac{10}{(X-1)^2} + \frac{4}{X-1}$ | intermediate | false | 444 | 7 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{X^5+X^4+1}{(X-1)^3(X+1)^2}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1 + \frac{3/4}{(X-1)^3} + \frac{3/2}{(X-1)^2} + \frac{37/16}{X-1} - \frac{1/8}{(X+1)^2} - \frac{5/16}{X+1}$ | intermediate | false | 444 | 8 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{X^7+3}{(X^2+X+2)^3}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $X-3 + \frac{7X+13}{(X^2+X+2)^3} - \frac{7X+21}{(X^2+X+2)^2} + \frac{14}{X^2+X+2}$ | advanced | false | 444 | 9 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{(3-2 i )X-5+3 i }{X^2+ i X+2}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{C}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{2+ i }{X- i } + \frac{1-3 i }{X+2 i }$ | intermediate | false | 444 | 10 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{X+ i }{X^2+ i }$\nen éléments simples sur $\\mathbb{C}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\frac{-\sqrt{2}+2}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}i}{X-\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2}+2}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i}{X-\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2}}$ | advanced | false | 444 | 11 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer\n$\\frac{X}{(X+ i )^2}$\nen éléments simples sur $\\mathbb{C}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{1}{X+ i } - \frac{i}{(X+ i )^2}$ | intermediate | false | 444 | 12 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposition en éléments simples\n $\\Phi={2x^4+x^3+3x^2-6x+1\\over2x^3-x^2}.$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $x+1-\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}-\frac{2}{x-\frac{1}{2}}$ | intermediate | false | 445 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposition en éléments simples\n $\\Phi={2x^5-8x^3+8x^2-4 x+1\\over x^3(x-1)^2}.$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2 + \frac{1}{x^3} - \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-1}$ | advanced | false | 446 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposition en éléments simples\n $\\Phi={4x^6-2x^5+11x^4-x^3+11x^2+2x+3\\over x(x^2+1)^3}.$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{3}{x} + \frac{x+1}{(x^2+1)^3} + \frac{3}{(x^2+1)^2} + \frac{x-2}{x^2+1}$ | intermediate | false | 447 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soient $r, r' \\in \\mathbb{Q}$ avec $r < r'$. Déterminer un nombre irrationnel compris strictement entre $r$ et $r'$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $x = r + \frac{\sqrt{2}}{2}(r' - r)$ | intermediate | true | 451 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\gamma = \\sqrt{2} + \\sqrt{3}$. En utilisant le fait que $\\gamma$ est racine du polynôme $p(x) = x^4 - 10x^2 + 1$ à coefficients entiers, déterminer les seules valeurs rationnelles possibles pour $\\gamma$ en appliquant le théorème des racines rationnelles.\n\nRésous l... | $\gamma = \pm 1$ | intermediate | true | 457 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $M = 0,1997\\,1997\\,1997\\ldots\\ldots$ Donner\nle rationnel dont l'écriture décimale est $M$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{1997}{9999}$ | intermediate | false | 459 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Même question avec :\n$ P = 0,11111\\ldots + 0,22222\\ldots +0,33333\\ldots\n+0,44444\\ldots+0,55555\\ldots+0,66666\\ldots\n+0,77777\\ldots + 0,88888\\ldots+0,99999\\ldots $\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant un... | $5$ | introductory | false | 459 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Exprimer $\\max(x,y,z)$ à l'aide de $x$, $y$, $z$, des opérations arithmétiques et de la valeur absolue.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\max(x,y,z) = \frac{\frac{1}{2}(x+y+|x-y|)+z+\left|\frac{1}{2}(x+y+|x-y|) - z\right|}{2}$ | intermediate | true | 464 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f : \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}$ vérifiant $\\forall (x, y) \\in \\mathbb{R}^2,\\ f(x + y) = f(x) + f(y)$. Calculer $f(n)$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$ en fonction de $f(1)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{.... | $f(n) = n \cdot f(1)$ | intermediate | true | 497 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ vérifiant $f(x + y) = f(x) + f(y)$ pour tout $x, y \\in \\mathbb{R}$. Calculer $f(n)$ pour tout $n \\in \\mathbb{Z}$ en fonction de $f(1)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » conten... | $f(n) = n \cdot f(1)$ | intermediate | true | 497 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f : \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ vérifiant $f(x+y) = f(x) + f(y)$ pour tout $x,y \\in \\mathbb{R}$. Calculer $f\\left(\\frac{a}{b}\\right)$ en fonction de $f(1)$, où $a,b \\in \\mathbb{Z}$, $b \\neq 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « R... | $f\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{a}{b} f(1)$ | intermediate | true | 497 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f : \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}$ une fonction additive (c'est-à-dire vérifiant $f(x+y) = f(x) + f(y)$ pour tout $x,y \\in \\mathbb{R}$) et croissante. Déterminer l'expression de $f(x)$ pour tout $x \\in \\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis ter... | $f(x) = x \cdot f(1)$ | advanced | true | 497 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Pour tout entier $n > 0$, déterminer un encadrement de $\\ln(n+1) - \\ln(n)$ en utilisant l'intégrale de la fonction $t \\mapsto \\frac{1}{t}$ sur $[n, n+1]$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la rép... | $\frac{1}{n+1} \leqslant \ln(n+1)-\ln(n) \leqslant \frac{1}{n}$ | intermediate | true | 520 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $H_n = 1 + \\frac{1}{2} + \\cdots + \\frac{1}{n}$. Déterminer un encadrement de $H_n$ en fonction de $\\ln(n)$, en utilisant les inégalités $\\frac{1}{n+1} \\leq \\ln(n+1) - \\ln(n) \\leq \\frac{1}{n}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Rép... | $\ln(n+1) \leq H_n \leq \ln(n) + 1$ | intermediate | true | 520 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer la limite de la suite $H_n = 1 + \\frac{1}{2} + \\cdots + \\frac{1}{n}$ lorsque $n \\to +\\infty$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $+\infty$ | intermediate | true | 520 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites\nci-dessous~; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la\nméthode employée.\n1. $ 1\\;;~-\\frac{1}{2}\\;;~\\frac{1}{3}\\;;~\n\\ldots\\;;~\\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\;;~\\ldots$\n\nRésous l'exercice étape par... | $0$ | introductory | false | 568 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites\nci-dessous~; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la\nméthode employée.\n1. $ 1\\;;~-\\frac{1}{2}\\;;~\\frac{1}{3}\\;;~\n\\ldots\\;;~\\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\;;~\\ldots$\n2. $2/1$~; $4/3$~; $6/5$~; $\... | $\frac{1}{2}$ | intermediate | false | 568 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites\nci-dessous~; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la\nméthode employée.\n1. $ 1\\;;~-\\frac{1}{2}\\;;~\\frac{1}{3}\\;;~\n\\ldots\\;;~\\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\;;~\\ldots$\n2. $2/1$~; $4/3$~; $6/5$~; $\... | $0$ | intermediate | false | 568 | 5 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites\nci-dessous~; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la\nméthode employée.\n1. $ 1\\;;~-\\frac{1}{2}\\;;~\\frac{1}{3}\\;;~\n\\ldots\\;;~\\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\;;~\\ldots$\n2. $2/1$~; $4/3$~; $6/5$~; $\... | $-\frac{3}{2}$ | intermediate | false | 568 | 6 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites\nci-dessous~; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la\nméthode employée.\n1. $ 1\\;;~-\\frac{1}{2}\\;;~\\frac{1}{3}\\;;~\n\\ldots\\;;~\\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\;;~\\ldots$\n2. $2/1$~; $4/3$~; $6/5$~; $\... | $0$ | intermediate | false | 568 | 7 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites\nci-dessous~; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la\nméthode employée.\n1. $ 1\\;;~-\\frac{1}{2}\\;;~\\frac{1}{3}\\;;~\n\\ldots\\;;~\\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\;;~\\ldots$\n2. $2/1$~; $4/3$~; $6/5$~; $\... | $\frac{3}{4}$ | intermediate | false | 568 | 10 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites\nci-dessous~; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la\nméthode employée.\n1. $ 1\\;;~-\\frac{1}{2}\\;;~\\frac{1}{3}\\;;~\n\\ldots\\;;~\\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\;;~\\ldots$\n2. $2/1$~; $4/3$~; $6/5$~; $\... | $0$ | intermediate | false | 568 | 11 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites\nci-dessous~; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la\nméthode employée.\n1. $ 1\\;;~-\\frac{1}{2}\\;;~\\frac{1}{3}\\;;~\n\\ldots\\;;~\\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\;;~\\ldots$\n2. $2/1$~; $4/3$~; $6/5$~; $\... | $0$ | intermediate | false | 568 | 12 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites\nci-dessous~; pour chacune, essayer de préciser en quelques mots la\nméthode employée.\n1. $ 1\\;;~-\\frac{1}{2}\\;;~\\frac{1}{3}\\;;~\n\\ldots\\;;~\\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\;;~\\ldots$\n2. $2/1$~; $4/3$~; $6/5$~; $\... | $\frac{1}{3}$ | intermediate | false | 568 | 13 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer ${u_{n+1}}^2 - a$ en fonction de ${u_n}^2$ et $a$ pour la suite définie par $u_{n+1} = \\frac{1}{2}\\left(u_n + \\frac{a}{u_n}\\right)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."... | ${u_{n+1}}^2 - a = \frac{({u_n}^2 - a)^2}{4{u_n}^2}$ | intermediate | true | 569 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $a > 0$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = \\frac{1}{2}\\left(u_n + \\frac{a}{u_n}\\right)$. Calculer $\\lim_{n \\to +\\infty} u_n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la rép... | $\sqrt{a}$ | intermediate | true | 569 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $a > 0$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = \\frac{1}{2}\\left(u_n + \\frac{a}{u_n}\\right)$. Donner une majoration de $u_{n+1} - \\sqrt{a}$ en fonction de $u_n - \\sqrt{a}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \... | $u_{n+1}-\sqrt{a} \leqslant (u_n-\sqrt{a})^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{a}}$ | advanced | true | 569 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $a > 0$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = \\frac{1}{2} \\left( u_n + \\frac{a}{u_n} \\right)$. Si $u_1 - \\sqrt{a} \\leq k$, déterminer une majoration explicite de $u_n - \\sqrt{a}$ pour $n \\geq 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine ... | $u_n - \sqrt{a} \leq 2\sqrt{a} \left( \frac{k}{2\sqrt{a}} \right)^{2^{n-1}}$ | advanced | true | 569 | 5 |
[
{
"role": "user",
"content": "En utilisant la méthode de Héron avec $u_0 = 3$, calculer une approximation de $\\sqrt{10}$ à $10^{-8}$ près, et donner la valeur arrondie à 8 chiffres après la virgule.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant unique... | $\sqrt{10} = 3,16227766\ldots$ | advanced | true | 569 | 6 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la suite $u_n = \\sum_{k=0}^n \\frac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \\frac{1}{n!}$. Déterminer la limite de $u_n$ lorsque $n \\to +\\infty$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $e = \exp(1)$ | advanced | true | 570 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f: [a,b] \\to [a,b]$ continue et croissante, et soit $(u_n)$ définie par $u_0 \\in [a,b]$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Si la suite $(u_n)$ converge, quelle équation vérifie sa limite ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » c... | $\ell = f(\ell)$ | intermediate | true | 571 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \\frac{4u_n + 5}{u_n + 3}$. Calculer $\\lim_{n \\to +\\infty} u_n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ | intermediate | true | 571 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Pour tous réels $a, b > 0$, démontrer que $a^2 - 2ab + b^2 \\geq 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $(a-b)^2 \geq 0$ | intermediate | true | 572 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la suite $(a_n)$ définie par $a_0 = 1$ et $a_{n+1} = f_n^{-1}\\left(0\\right)$ où $f_n(x) = \\frac{1-x^{n+1}}{1-x} - 2$ pour $x \\neq 1$. Calculer $\\lim_{n \\to \\infty} a_n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » cont... | $\frac{1}{2}$ | advanced | true | 574 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sqrt{1+x} - \\sqrt{1-x}}{x}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1$ | intermediate | true | 609 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\lim_{x \\to 0} \\frac{1}{x} \\left( \\sqrt{1+x+x^2} - 1 \\right)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{1}{2}$ | intermediate | true | 609 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.\n$\\lim_{x \\rightarrow0^+}{x+2 \\over x^2 \\ln x}$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-\infty$ | intermediate | false | 623 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.\n$\\lim_{x \\rightarrow0^+}2x \\ln(x+\\sqrt x)$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $0$ | intermediate | false | 623 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.\n$\\lim_{x \\rightarrow+ \\infty}{x^3-2x^2+3 \\over x \\ln x}$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $+\infty$ | intermediate | false | 623 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.\n$\\lim_{x \\rightarrow+ \\infty}{e^{\\sqrt x+1} \\over x+2}$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $+\infty$ | intermediate | false | 623 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.\n$\\lim_{x \\rightarrow0^+}{\\ln(3x+1) \\over2x}$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{3}{2}$ | intermediate | false | 623 | 5 |
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