prompt listlengths 1 1 | answer stringlengths 3 353 | difficulty stringclasses 3
values | is_proof bool 2
classes | source_exercise_id stringlengths 1 4 | sub_part float64 1 20 ⌀ |
|---|---|---|---|---|---|
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la matrice $A \\in M_2(\\mathbb{R})$ associée au système récurrent $U_{n+1} = AU_n$ avec $U_n = \\begin{pmatrix} x_n \\\\ y_n \\end{pmatrix}$, où $x_{n+1} = -9x_n - 18y_n$ et $y_{n+1} = 6x_n + 12y_n$. Déterminer la matrice diagonale $D$ telle que $D = P^{-1}AP$ pour une ma... | $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ | advanced | true | 1080 | 5 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la suite de vecteurs $U_n = \\begin{pmatrix} x_n \\\\ y_n \\end{pmatrix}$ définie par $U_{n+1} = A U_n$ avec $A = \\begin{pmatrix} -9 & -18 \\\\ 6 & 12 \\end{pmatrix}$, $x_0 = -137$, $y_0 = 18$. Calculer $A^n$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$.\n\nRésous l'exercice étape par ... | $\begin{pmatrix} -3^{n+1} & -2\cdot 3^{n+1} \\ 2\cdot 3^n & 4\cdot 3^n \end{pmatrix}$ | advanced | true | 1080 | 6 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie $n$ tel que $f^2 = f$. Déterminer la matrice de $f$ dans une base adaptée à la décomposition $E = \\Ker f \\oplus \\Im f$, en notant $r = \\dim \\Im f$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une... | $\begin{pmatrix} I & (0) \\ (0) & (0) \end{pmatrix}$ | advanced | true | 1093 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f$ l'endomorphisme de $\\mathbb{R}^2$ de matrice $A=\\begin{pmatrix} 2&\\frac{2}{3}\\\\ -\\frac{5}{2}&-\\frac{2}{3} \\end{pmatrix}$ dans la base canonique. Soient $e_1 = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}$ et $e_2 = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 5 \\end{pmatrix}$. Déter... | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$ | intermediate | true | 1104 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f$ l'endomorphisme de $\\mathbb{R}^2$ de matrice $A=\\begin{pmatrix} 2&\\frac 23\\\\\n-\\frac 52&-\\frac 23 \\end{pmatrix}$ dans la base canonique. Soient\n$e_1 = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 3\\end{pmatrix}$\net $e_2 = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 5 \\end{pmatrix}$.\nCalculer $A... | $A^n = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 10 - \frac{6}{3^n} & 4 - \frac{4}{3^n} \\ -15 + \frac{15}{3^n} & -6 + \frac{10}{3^n} \end{pmatrix}$ | advanced | false | 1104 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\Delta_n$ le déterminant défini par la matrice symétrique de taille $n$ avec $a$ sur la diagonale, et les entiers $1$ à $n-1$ le long de la dernière ligne et colonne. Exprimer $\\Delta_n$ en fonction de $\\Delta_{n-1}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine ... | $\Delta_n = a \Delta_{n-1} - a^{n-2}(n-1)^2$ | advanced | true | 1145 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer le déterminant $\\Delta_n$ défini par la matrice tridiagonale avec $a$ sur la diagonale, et des entiers décroissants de $1$ à $n-1$ sur les bords, pour $n \\geq 2$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant un... | $\Delta_n = a^n - a^{n-2} \sum_{i=1}^{n-1} i^2$ | advanced | true | 1145 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels\n$\\lambda$, $a$, $b$, $c$, $d$ le système :\n$$ (S)\\;\\left\\{\\begin{array}{rcl}\n (1+\\lambda)x+y+z+t &=&a\\\\\n x+(1+\\lambda)y+z+t &=&b \\\\\n x+y+(1+\\lambda)z+t &=&c \\\\\n x+y+z+(1+\\lambda)t &=&d\n\\end{ar... | $\left(\frac{(\lambda+3)a-b-c-d}{\lambda(\lambda+4)}, \frac{(\lambda+3)b-a-c-d}{\lambda(\lambda+4)}, \frac{(\lambda+3)c-a-b-d}{\lambda(\lambda+4)}, \frac{(\lambda+3)d-a-b-c}{\lambda(\lambda+4)}\right)$ | advanced | false | 1169 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 > 0$, $u_1 > 0$ et $u_{n+1} = u_n + u_{n-1}$ pour $n \\geq 1$. Calculer $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{u_{n+1}}{u_n}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la répo... | $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ | intermediate | true | 1202 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $ (u_n)$ définie par $u_0$ et $u_1$\nstrictement positifs et $u_{n + 1}\n = u_n + u_{n-1}$ pour $n \\geq 1$.\nSoit $a_n = \\dfrac{u_{n + 1}}{u_n}$. Exprimer $a_{n + 1}$ en fonction de $a_n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\box... | $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}$ | advanced | false | 1202 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 > 0 $, $ u_1 > 0 $, et $ u_{n+1} = u_n + u_{n-1} $ pour $ n \\geq 1 $. Exprimer $ u_n $ sous forme explicite en fonction de $ n $, $ \\lambda = \\frac{1 - \\sqrt{5}}{2} $, et $ \\mu = \\frac{1 + \\sqrt{5}}{2} $.\n\nRésous l'exercice éta... | $u_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\big( \mu^{n+1} - \lambda^{n+1} \big)$ | advanced | true | 1202 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $ (u_n)$ définie par $u_0$ et $u_1$\nstrictement positifs et $u_{n + 1}\n = u_n + u_{n-1}$ pour $n \\geq 1$.\nDéterminer un rationnel $r$ tel que $\\left|r-\\frac{1 + \\sqrt 5}2\\right|< 10^{-3}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse :... | $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ | intermediate | false | 1202 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Étudier en $ + \\infty$ et $-\\infty$ la fonction\n$f (x) = \\sqrt[3]{x^3 + 1}\n + \\sqrt{x^2 + x + 1}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-\frac{1}{2}$ | intermediate | false | 1216 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $ (\\lambda_n) $ la suite des racines réelles positives du polynôme $ P_n(X) = X^n + X^{n-1} + X^2 + X - 1 $ pour $ n \\geq 2 $. Calculer $ \\lim_{n \\to \\infty} \\lambda_n $.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » cont... | $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ | advanced | true | 1229 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f$ une application continue sur $]a,b[$, dérivable en $c \\in ]a,b[$. Définir explicitement l'application continue $\\epsilon$ sur $]a,b[$ telle que $f(x) = f(c) + (x - c)f'(c) + (x - c)\\epsilon(x)$ pour tout $x \\in ]a,b[ \\setminus \\{c\\}$.\n\nRésous l'exercice étape ... | $\epsilon(x) = \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - f'(c)$ | intermediate | true | 1233 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Pourquoi peut on dire, a priori, que $\n{\\frac{1}{ 2}}\\leq S \\leq 1 ?$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{1}{2} \leq S \leq 1$ | intermediate | false | 1233 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f : ]-1,1[ \\to \\mathbb{R}$ continue, dérivable en $0$ avec $f(0) = 0$. Calculer $\\lim_{n \\to \\infty} \\sum_{k=0}^{n} f\\left(\\frac{1}{n+k}\\right)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la r... | $f'(0)S$ | advanced | true | 1233 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $ f(x) = \\log(1+x) $ et $ \\sigma_n(f) = \\sum_{k=0}^{n-1} \\frac{1}{n} f\\left(\\frac{k}{n}\\right) $. Calculer $ \\lim_{n \\to \\infty} \\sigma_n(f) $.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la ré... | $\log(2)$ | intermediate | true | 1233 | 5 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la limite de la suite $ (\\sigma _n)_{n\\geq 1} $ de\nterme général~:\n$$\\sigma _n = \\text{sin }\\frac{ 1}{ n}+ \\text{sin }\\frac{ 1}{ n+1}+\\cdots +\n \\text{sin }\\frac{ 1}{ 2n} .\n$$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse... | $\ln 2$ | intermediate | false | 1233 | 6 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la limite $ S_p = \\lim_{n \\to \\infty} \\sum_{k=0}^{pn} \\frac{1}{n+k} $ pour $ p \\in \\mathbb{N}^* $ donné.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\ln(p+1)$ | advanced | true | 1233 | 7 |
[
{
"role": "user",
"content": "Donner le développement limité en $ 0 $ des\nfonctions~:\n$ x\\mapsto \\ln (\\text{cos}\n(x)) $ (à l'ordre $ 6 $).\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{45}x^6 + o(x^6)$ | intermediate | false | 1237 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Donner le développement limité en $ 0 $ des\nfonctions~:\n$ x \\mapsto \\tan(x) $ (à l'ordre $ 7 $).\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + o(x^7)$ | intermediate | false | 1237 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Donner le développement limité en $ 0 $ des\nfonctions~:\n$ x\\mapsto (\\ln(1+x))^2 $ (à l'ordre $ 4 $).\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $x^2 - x^3 + \frac{11}{12}x^4 + o(x^4)$ | intermediate | false | 1237 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Donner le développement limité en $ 0 $ des\nfonctions~:\n$ x\\mapsto \\exp(\\sin(x)) $ (à l'ordre $ 3 $).\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1 + x + \frac{1}{2}x^2 + o(x^3)$ | intermediate | false | 1237 | 5 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer la limite en $0$ de $\\dfrac{\\arctan x\n- \\sin x}{\\tan x - \\arcsin x}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-1$ | advanced | false | 1239 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Faire un développement limité ou asymptotique\nen $a$ à l'ordre $n$ de :\n$\\ln \\cos x$ $n = 6$ $a = 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\ln \cos x = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{45}x^6 + o(x^7)$ | intermediate | false | 1240 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Faire un développement limité ou asymptotique\nen $a$ à l'ordre $n$ de :\n$\\dfrac{\\arctan x -x}{\\sin x -x}$ $n = 2$ $a = 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2 - \frac{11}{10}x^2 + o(x^3)$ | intermediate | false | 1240 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Faire un développement limité ou asymptotique\nen $a$ à l'ordre $n$ de :\n$\\ln \\tan (\\frac x2 + \\frac{\\pi}4)$ $n = 3$ $a = 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^4)$ | intermediate | false | 1240 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Faire un développement limité ou asymptotique\nen $a$ à l'ordre $n$ de :\n$\\ln \\sin x$ $n = 3$ $a = \\frac{\\pi}4$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\ln \sin x = \ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - \left(x - \frac{\pi}{4}\right)^2 + \frac{2}{3}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)^3 + o\left(\left(x - \frac{\pi}{4}\right)^3\right)$ | intermediate | false | 1240 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Faire un développement limité ou asymptotique\nen $a$ à l'ordre $n$ de :\n$\\sqrt[3]{x^3 + x}-\\sqrt[3]{x^3-x}$ $n = 4$ $a = + \\infty$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{2}{3x} + o\left(\frac{1}{x^4}\right)$ | advanced | false | 1240 | 5 |
[
{
"role": "user",
"content": "Faire un développement limité ou asymptotique\nen $a$ à l'ordre $n$ de :\n$ (1 + x)^{\\frac 1x}$ $n = 3$ $a = 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $e - \frac{1}{2}e x + \frac{11}{24}e x^2 - \frac{7}{16}e x^3 + o(x^3)$ | advanced | false | 1240 | 6 |
[
{
"role": "user",
"content": "Faire un développement limité ou asymptotique\nen $a$ à l'ordre $n$ de :\n$x (\\sqrt{x^2 + \\sqrt{x^4 + 1}}-x\\sqrt 2)$ $n = 2$ $a = + \\infty$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."... | $\frac{\sqrt{2}}{8x^2} + o(x^{-5})$ | advanced | false | 1240 | 7 |
[
{
"role": "user",
"content": "Développement limité en $1$ à l'ordre $3$ de $f(x)=\\sqrt{x}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1 + \frac{1}{2} (x-1) - \frac{1}{8} (x-1)^2 + \frac{1}{16} (x-1)^3 + o((x-1)^3)$ | intermediate | false | 1243 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Développement limité en $1$ à l'ordre $3$ de $g(x)= e^{\\sqrt{x}}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $e + \frac{e}{2} (x-1) + \frac{e}{48} (x-1)^3 + o((x-1)^3)$ | intermediate | false | 1243 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Développement limité à l'ordre $3$ en $\\frac\\pi3$ de $h(x)=\\ln (\\sin x)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{\pi}{3}\right) - \frac{2}{3}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 + \frac{4}{9\sqrt{3}}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^3 + o\left(\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^3\right)$ | advanced | false | 1243 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer:\n$ \\lim _{x \\rightarrow 0^+}(\\Arctan x)^{\\frac{1}{x^2}}$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $0$ | intermediate | false | 1265 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer:\n$ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{(1+3x)^{\\frac{1}{3}}-1-\\sin x}{1-\\cos x}$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-2$ | intermediate | false | 1265 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f : ]a, +\\infty[ \\to \\mathbb{R}$ de classe $C^2$, avec $f$ et $f''$ bornées. On pose $M_0 = \\sup_{x>a} |f(x)|$ et $M_2 = \\sup_{x>a} |f''(x)|$. Pour tout $x > a$ et $h > 0$, calculer une majoration explicite de $|f'(x)|$ en fonction de $M_0$, $M_2$ et $h$.\n\nRésous l... | $|f'(x)| \leq \frac{2}{h}M_0 + \frac{h}{2}M_2$ | advanced | true | 1268 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f : ]a, +\\infty[ \\to \\mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$ telle que $f$ et $f''$ soient bornées. On note $M_0 = \\sup_{x>a} |f(x)|$ et $M_2 = \\sup_{x>a} |f''(x)|$. Déterminer une borne supérieure pour $|f'(x)|$ valable pour tout $x > a$.\n\nRésous l'exercice étape... | $2\sqrt{M_0M_2}$ | advanced | true | 1268 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $g : ]0, +\\infty[ \\to \\mathbb{R}$ une application de classe $C^2$ telle que $g''$ soit bornée et $\\lim_{x\\to+\\infty} g(x) = 0$. Calculer $\\lim_{x\\to+\\infty} g'(x)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contena... | $\lim_{x\to+\infty} g'(x) = 0$ | advanced | true | 1268 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $G$ un groupe d'ordre $pn$ avec $p$ premier. Soient $H$ et $H'$ deux sous-groupes distincts de $G$ d'ordre $p$. Quel est l'intersection $H \\cap H'$ ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la répons... | $\{ e \}$ | intermediate | true | 1387 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $G$ un groupe, $H$ et $K$ deux sous-groupes d'ordre fini de $G$ tels que $H \\cap K = \\{e_G\\}$. Déterminer le cardinal de $HK = \\{hk \\mid h \\in H, k \\in K\\}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniqu... | $|H||K|$ | intermediate | true | 1428 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $E$ un espace euclidien, $a$ un vecteur unitaire, et $k \\neq -1$. Soit l'endomorphisme $u_k(x) = k\\langle x,a\\rangle a + x$. Déterminer l'inverse de $u_k$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement l... | $u_{k}^{-1} = u_{\frac{-k}{k+1}}$ | advanced | true | 1554 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie dont le polynôme caractéristique est scindé à racines simples. Quelle est la valeur de $\\chi_u(u)$ ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquem... | $\chi_u(u) = 0$ | advanced | true | 1579 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la matrice $A = \\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\\\ -1 & 3 & -1 \\\\ -2 & -1 & -3 \\end{pmatrix}$. Déterminer une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1}AP$ soit sous forme de Jordan, et donner cette matrice triangulaire supérieure par blocs.\n\nRésous l'exercice étape par ét... | $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ | advanced | true | 1635 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la matrice $A = \\begin{pmatrix} 0 &\\vline& J \\\\ \\hline J &\\vline& 0 \\end{pmatrix}$ où $J = \\begin{pmatrix} \\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} \\end{pmatrix}$. Déterminer le polynôme caractéristique de $A$.\n\nRésous l'exercice étape par ét... | $\chi_A = X^2(X-1)(X+1)$ | advanced | true | 1636 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $E$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie, $u$ un endomorphisme, et $x_0 \\in E \\setminus \\{0\\}$. Soit $x_k = u^k(x_0)$ et $F = \\mathrm{Vect}(x_k \\mid k \\in \\mathbb{N})$. Calculer $u\\left(\\sum_{i=1}^{N}\\alpha_{i}x_{i}\\right)$ pour $\\alpha_i \\in ... | $u\left(\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}x_{i}\right) = \sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}x_{i+1}$ | intermediate | true | 1702 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la matrice $A = \\begin{pmatrix} a&-b&-c&-d\\\\ b& a& d&-c\\\\ c&-d& a& b\\\\ d& c&-b& a \\end{pmatrix}$ avec $(b,c,d) \\neq (0,0,0)$. Calculer $\\det A$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la ré... | $\pm(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}$ | advanced | true | 1712 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites\nlorsqu'elles existent:\n$ \\lim_{(x,y)\\to (0,0)} \\frac{(x+2y)^3}{x^2+y^2} $\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $0$ | intermediate | false | 1787 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les limites\nlorsqu'elles existent:\n$ \\lim_{(x,y)\\to (1,0)} \\frac{\\log (x+e^y)}{\\sqrt{x^2+y^2}} $\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\log 2$ | intermediate | false | 1787 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la somme de la série $\\sum_{n \\ge 0} (n+1)3^{-n}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{9}{4}$ | intermediate | true | 1938 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la somme de la série $\\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{n}{n^4+n^2+1}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{1}{2}$ | advanced | true | 1938 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la somme de la série $\\sum_{n=3}^{+\\infty} \\frac{2n-1}{n^3-4n}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{89}{96}$ | advanced | true | 1938 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $0 < a < b$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $\\frac{u_{n+1}}{u_n} = \\frac{n+a}{n+b}$ pour $n \\geq 0$. Si $b - a > 1$, calculer la somme de la série $\\sum_{n=0}^{\\infty} u_n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\bo... | $\frac{a}{b-a-1}$ | advanced | true | 1949 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la somme $\\sum_{p=0}^{\\infty} \\frac{1}{(2p+1)^4}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi^4}{96}$ | advanced | true | 1951 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{n^4}$ en utilisant les résultats de la série de Fourier de la fonction $f(x) = |x|$ sur $[-\\pi, \\pi]$ et l'identité de Parseval.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniqu... | $\frac{\pi^4}{90}$ | advanced | true | 1951 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soient $A, B, C, D$ quatre points distincts du plan tels que $\\overrightarrow{AB} \\neq \\overrightarrow{CD}$. Déterminer l'affixe du centre de la similitude directe transformant $A$ en $C$ et $B$ en $D$, en fonction des affixes $a, b, c, d$ de ces points.\n\nRésous l'exercice... | $\omega = \frac{ad - bc}{a - b - c + d}$ | advanced | true | 2009 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer le point $Q$ appartenant à tous les plans $P_m$ d'équation $m^2x + (2m-1)y + mz = 3$, où $m \\in \\mathbb{R}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $(0, -3, 6)$ | intermediate | true | 2020 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la distance du point $A(1,2,3)$ à la droite\n$(D): \\left\\{ \\begin{array}{l}\n-2x+y-3z=1\\\\ x+z=1 \\end{array} \\right.$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ | intermediate | false | 2021 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f$ la fonction définie sur $[0,4]$ par\n\\begin{equation*}\n f(x)=\n \\begin{cases}\n -1 &\\text{ si $x=0$}\\\\\n 1 &\\text{ si $0<x<1$}\\\\\n 3 &\\text{ si $x=1$}\\\\\n -2 &\\text{ si $1<x\\leq 2$}\\\\\n 4 &\\text{ si $2<x\\leq 4$.}\n \\end{cases}\n\\en... | $7$ | intermediate | false | 2081 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\int_a^b \\frac{1}{t} \\, dt$ en utilisant des sommes de Riemann-Darboux avec une subdivision géométrique $x_k = a q^k$, $q = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{1/n}$, $k=0,1,\\dots,n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{..... | $\ln b - \ln a$ | advanced | true | 2083 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer l'intégrale de $f:[a,b]\\rightarrow \\mathbb{R}$ comme\nlimite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants:\n$h(x)=\\alpha ^x$ sur $[a,b]$ , $\\alpha >0$, et $x_k=a+(b-a).\\frac kn$, $%\nk=0,1,...,n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une li... | $\frac{e^{\alpha b} - e^{\alpha a}}{\alpha}$ | advanced | false | 2083 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f:[a,b] \\to \\mathbb{R}$ continue et positive, avec $m = \\sup\\{f(x) \\mid x \\in [a,b]\\}$. Calculer $\\lim_{n \\to \\infty} \\left( \\int_a^b (f(x))^n \\, dx \\right)^{\\frac{1}{n}}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed... | $1$ | advanced | true | 2086 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $F(x) = \\int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \\, dt$, où $u$ et $v$ sont dérivables sur $\\mathbb{R}$ et $f$ continue sur $\\mathbb{R}$. Calculer $F'(x)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale... | $F'(x) = v'(x)f(v(x)) - u'(x)f(u(x))$ | intermediate | true | 2092 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $\\mathbb{R}$ et $f$ une fonction\ncontinue sur $\\mathbb{R}$.\nCalculer la dérivée de $ G(x)=\\int_x^{2x}\\frac{d t}{1+t^2+t^4}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contena... | $\frac{2}{1+4x^2+16x^4}-\frac{1}{1+x^2+x^4}$ | intermediate | false | 2092 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\lim_{x \\to 1^+} \\int_x^{x^2} \\frac{1}{\\ln t} \\, dt$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\ln 2$ | advanced | true | 2093 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\int_{-1}^1 (1 - x^2)^n \\, dx$ en fonction de $I_{2n+1}$, où $I_n = \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^n x \\, dx$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2I_{2n+1}$ | intermediate | true | 2096 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\lim_{n \\to +\\infty} \\int_0^1 \\frac{x^n}{1 + x} \\, dx$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $0$ | intermediate | true | 2097 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $ I_{n} = \\int_0^1 \\frac{x^n}{1 + x}d x$.\nCalculer $I_n + I_{n + 1}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{1}{n+1}$ | intermediate | false | 2097 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\lim_{n \\to +\\infty} \\sum_{k=1}^n \\frac{(-1)^{k+1}}{k}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\ln 2$ | intermediate | true | 2097 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\int_{-R}^R\\sqrt{R^2-x^2}d x$ (on posera $\\theta =\\arcsin \\frac xR$\n) et en déduire l'aire d'un disque de rayon $R$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi}{2}R^2$ | intermediate | false | 2098 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer l'aire de la région délimitée par les courbes\nd'équation $ y=\\frac{x^2}2$ et $ y=\\frac 1{1+x^2}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$ | intermediate | false | 2099 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la limite des suites suivantes :\n$ u_n=n\\sum_{k=0}^{n-1}\\frac 1{k^2+n^2}$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi}{4}$ | intermediate | false | 2100 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la limite de la suite $v_n = \\prod_{k=1}^n \\left(1 + \\frac{k^2}{n^2}\\right)^{\\frac{1}{n}}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2e^{\frac{\pi}{2} - 2}$ | advanced | true | 2100 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Donner un exemple de partie infinie de $\\mathbb{Z}$ stable par l'addition mais qui n'est pas un sous-groupe.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\mathbb{N}$ | advanced | true | 2121 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $G$ un groupe abélien, $a$ et $b$ deux éléments d'ordres finis $m$ et $n$ avec $\\mathrm{pgcd}(m,n)=1$. Déterminer l'ordre de $ab$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\mathrm{ppcm}(m,n) = mn$ | advanced | true | 2124 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer le groupe des automorphismes du groupe $\\mathbb{Z}/2\\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z}/2\\mathbb{Z}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $S_3$ | advanced | true | 2138 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $G$ un groupe fini, $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$ tels que $H$ soit distingué dans $G$, $|H|$ et $|G/H|$ soient premiers entre eux, et $|H| = |K|$. Déterminer la relation entre $H$ et $K$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \... | $H = K$ | advanced | true | 2149 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f : \\mathbb{Q} \\to \\mathbb{Q}_{>0}^\\times$ un morphisme de groupes (avec $\\mathbb{Q}$ additif et $\\mathbb{Q}_{>0}^\\times$ multiplicatif). Exprimer $f(n)$ pour tout entier $n > 0$ en fonction de $f(1)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une lign... | $f(n) = f(1)^n$ | advanced | true | 2150 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer le nombre d'automorphismes du $\\mathbb{F}_p$-espace vectoriel $\\mathbb{F}_p^n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $(p^n-1)(p^n-p)\cdots (p^n - p^{n-1})$ | advanced | true | 2160 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $H$ un sous-groupe distingué de $S_n$ contenant une transposition. À quel groupe $H$ est-il égal ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $S_n$ | advanced | true | 2171 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer la signature de toute permutation d'ordre $10$ dans $S_8$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-1$ | advanced | true | 2174 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $H$ un sous-groupe d'indice $2$ de $S_n$. À quel sous-groupe de $S_n$ est-il nécessairement égal ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $A_n$ | advanced | true | 2175 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Quels sont les sous-groupes distingués de $S_4$ ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\{1\},\ V_4,\ A_4,\ S_4$ | advanced | true | 2176 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $H$ un sous-groupe primitif de $S_n$ contenant une transposition. À quel groupe est-il isomorphe ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $S_n$ | advanced | true | 2185 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Combien y a-t-il de $p$-sous-groupes de Sylow dans le groupe symétrique $S_p$, pour $p$ premier ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $(p-2)!$ | advanced | true | 2200 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $A$ une matrice carrée telle que $\\rho(A) < 1$. Calculer $\\lim_{k \\to \\infty} \\left\\| (I-A)^{-1} - \\sum_{i=0}^k A^i \\right\\|$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
... | $\lim_{k \to \infty} \|(I-A)^{-1} - C_k\| = 0$ | advanced | true | 2213 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $A \\in \\mathbb{C}^{n \\times m}$. Quelle est la valeur de la norme spectrale $\\|A\\|_2$ en fonction des valeurs singulières de $A$ ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
... | $\sigma_1$ | advanced | true | 2218 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $A \\in \\mathbb{C}^{m \\times m}$. Déterminer $|\\det A|$ en fonction des valeurs singulières $\\sigma_i$ de $A$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\prod_{i=1}^{r} \sigma_i$ | advanced | true | 2218 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $A$ une matrice inversible. Exprimer le conditionnement spectral $\\mbox{cond}_2(A)$ en fonction de ses valeurs singulières $\\mu_1(A)$ (plus grande) et $\\mu_n(A)$ (plus petite).\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » c... | $\mu_n(A)/\mu_1(A)$ | advanced | true | 2219 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $A \\in \\mathbb{R}^{n \\times n}$ inversible et $Q \\in \\mathbb{R}^{n \\times n}$ orthogonale. Calculer $\\mbox{cond}_2(AQ)$ en fonction de $\\mbox{cond}_2(A)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniqueme... | $\mbox{cond}_2(A) = \mbox{cond}_2(AQ) = \mbox{cond}_2(QA)$ | advanced | true | 2219 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer le déterminant de la matrice de Householder $H(v) = I - 2vv^T$ où $v$ est un vecteur réel tel que $v^Tv = 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-1$ | advanced | true | 2229 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $G = G_{p,q}(c,s)$ la matrice définie par blocs avec $c^2 + s^2 = 1$. Déterminer l'inverse de $G$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $G^{-1} = G^T$ | advanced | true | 2231 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soient $A$ et $B$ deux matrices réelles d'ordre $N$, et $a,b \\in \\mathbb{R}^n$. Déterminer la condition nécessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que les suites définies par $x_{k+1} = By_k + a$, $y_{k+1} = Ax_k + b$ convergent pour tout $x_0, y_0 \\in \\mathbb{R}^n$\n\nRé... | $\rho(AB) < 1$ | advanced | true | 2238 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la matrice $C = \\begin{pmatrix} 0 & B \\\\ A & 0 \\end{pmatrix}$ où $A$ et $B$ sont des matrices réelles d'ordre $n$. Déterminer le rayon spectral de $C$ en fonction du rayon spectral de $AB$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\... | $\rho^2(C) = \rho(AB)$ | advanced | true | 2238 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Donner une condition nécessaire et suffisante sur les matrices $A$ et $B$ pour que les itérations définies par $x_{k+1} = By_k + a$, $y_{k+1} = Ax_{k+1} + b$ convergent vers une limite, quel que soit le choix initial $x_0, y_0 \\in \\mathbb{R}^n$.\n\nRésous l'exercice étape par... | $\rho(AB) < 1$ | advanced | true | 2238 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit la suite itérative de Gauss-Seidel définie par $X_{n+1} = (D-E)^{-1} F X_n + (D-E)^{-1} b$ pour le système $Ax = b$ avec la matrice $A$ donnée. Déterminer la norme infinie de la matrice itérative $L_1 = (D-E)^{-1}F$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par u... | $\frac{17}{18}$ | advanced | true | 2239 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Dans un anneau $A$, quelle condition équivalente à $|A| \\geq 2$ peut-on écrire en termes de $1_A$ et $0_A$ ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1_A \neq 0_A$ | intermediate | true | 2251 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $A$ un anneau intègre fini. Pour tout $a \\in A \\setminus \\{0\\}$, déterminer un élément $x \\in A$ tel que $ax = 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\exists x \in A,\ ax = 1$ | advanced | true | 2253 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Trouver le $\\pgcd(f,g)$ dans $\\mathbb{Z}[x]$ de\n$f=x^4+x^3-3x^2-4x-1$ et $g=x^3+x^2-x-1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1$ | intermediate | false | 2274 | null |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.