prompt listlengths 1 1 | answer stringlengths 3 353 | difficulty stringclasses 3
values | is_proof bool 2
classes | source_exercise_id stringlengths 1 4 | sub_part float64 1 20 ⌀ |
|---|---|---|---|---|---|
[
{
"role": "user",
"content": "On demande à un étudiant de trouver l'équation du plan tangent à\nla surface d'équation\n$z=x^4-y^2$ au point $(x_0,y_0,z_0)=(2,3,7)$. Sa réponse est\n\\[\nz=4x^3(x-2)-2y(y-3).\n\\]\nDonner la réponse correcte.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « ... | $z = 32(x-2) - 6(y-3) + 7$ | intermediate | false | 2629 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f$ la fonction définie sur\n$\\mathbb{R}^2$ par $f(x,y)= x^2-2y^3$.\nDéterminer l'équation du plan tangent\n${\\cal P}_{M_0}$\nau graphe $G_f$ de $f$ en un point quelconque\n$M_0$\nde $G_f$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\bo... | $z - z_0 = 2x_0(x - x_0) - 6y_0^2(y - y_0)$ | intermediate | false | 2632 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f(x,y) = x^2 - 2y^3$. Déterminer les points $M = (x,y,z)$ sur la surface $z = f(x,y)$ tels que le plan tangent en $M$ soit parallèle au plan tangent en $(2,1,2)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquem... | $(2, -1, 6)$ | advanced | true | 2632 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $g\\colon\\mathbb{R}_{>0}\\times \\mathbb{R}_{>0}\\to \\mathbb{R}$ une fonction\nde classe $C^1$\ntelle que $g(1,1)=3$ et dont la différentielle vaille\n\\begin{equation}\n\\mathrm{d} g= (2xy+y^2)\\mathrm{d} x + (x^2+2xy) \\mathrm{d} y.\n\\end{equation}\nSoit\n\\[\nh\\colo... | $g(x,y) = x^2y + xy^2 + 1$ | advanced | false | 2637 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer la solution unique de l'équation des ondes $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} - \\frac{\\partial^2 f}{\\partial t^2} = 0$ avec les conditions initiales $f(x,0) = \\sin x$ et $\\frac{\\partial f}{\\partial t}(x,0) = -\\cos x$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, ... | $f(x,t) = \sin(x - t)$ | advanced | true | 2640 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\cal C$ la courbe plane\nd'équation $f(x,y)=ye^{x}+e^y\\sin(2x)=0$.\nDéterminer la limite de $y/x$ quand $(x,y)$ tend le long la courbe ${\\cal C}$\nvers\n$(0,0)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniq... | $-2$ | advanced | false | 2645 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer l'intégrale $\\int_0^\\pi \\frac{a\\,d\\varphi}{a^2 + \\sin^2\\varphi}$ pour $a > 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi}{\sqrt{a^2+1}}$ | advanced | true | 2672 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer l'intégrale de Wallis $W_n = \\int_0^{\\pi/2} \\cos^{2n}\\theta\\,d\\theta$ en utilisant la méthode des résidus.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi}{2^{2n+1}} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ | advanced | true | 2674 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Développer en série de Fourier la fonction $f(x) = \\frac{1}{2 - \\cos x}$ en calculant explicitement les coefficients $a_n$ à l'aide de la méthode des résidus.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la r... | $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}\left[1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} (2-\sqrt{3})^n \cos(nx)\right]$ | advanced | true | 2675 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer l'intégrale $\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{e^{ax}}{\\cosh x} \\, dx$ pour $a \\in [0,1[$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi}{\cos(\pi a/2)}$ | advanced | true | 2677 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\int_0^{+\\infty} e^{-x^2} \\cos(2ax) \\, dx$ en utilisant l'intégration complexe de $f(z) = e^{2iaz - z^2}$ sur un rectangle de sommets $0$, $R$, $R+ia$, $ia$, et en faisant tendre $R \\to +\\infty$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « ... | $\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-a^2}$ | advanced | true | 2678 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $R$ une fraction rationnelle, ou plus généralement une fonction\n méromorphe sur $\\mathbb{C}$, sans pôle réel.\nApplication: calculer\n$$ \\int_0^{+\\infty } {x\\over 1+x^8}\\,dx .$$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...... | $\frac{\pi \sqrt{2}}{8}$ | advanced | false | 2679 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $R$ une fraction rationnelle, ou plus généralement une fonction\n méromorphe sur $\\mathbb{C}$, sans pôle réel.\nApplication: calculer\n$$ I_{p} = \\int_0^{+\\infty } {x\\over 1+x^{2p}} \\,dx.$$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \... | $\frac{\pi}{2p \sin\left(\frac{\pi}{p}\right)}$ | advanced | false | 2679 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la somme de la série $\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{x^{2n}}{(n!)^2}$ en utilisant une intégrale sur le cercle unité.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(n!)^2} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{2x\cos\theta} \, d\theta$ | advanced | true | 2680 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer l'intégrale $ I_a = \\int_0^{+\\infty} \\frac{x^{a-1}}{1+x} \\, dx $ pour $ a \\in ]0,1[ $.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi}{\sin(a\pi)}$ | advanced | true | 2682 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer l'intégrale $ I_a = \\int_0^{+\\infty} \\frac{x^{a-1}}{1+x} \\, dx $ pour $ a \\in ]0,1[ $.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi}{\sin(a\pi)}$ | advanced | true | 2682 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Donner un développement asymptotique de $\\ln(m!)$ à $O\\left(\\frac{1}{m^7}\\right)$ près quand $m \\to +\\infty$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\ln(m!) = m\ln m - m + \frac{1}{2}\ln m + \frac{1}{2}\ln 2\pi + \frac{1}{12m} - \frac{1}{360m^3} + \frac{1}{1260m^5} + O\left(\frac{1}{m^7}\right)$ | advanced | true | 2683 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la somme $\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n^2}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi^2}{6}$ | advanced | true | 2722 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs\n$\\vec{u} = \\left(\\begin{array}{c}2\\\\3\\end{array}\\right)$ et\n$\\vec{v} = \\left(\\begin{array}{c}1\\\\4\\end{array}\\right)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\box... | $5$ | introductory | false | 2753 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs \\\\\n$\\vec{u} = \\left(\\begin{array}{c}1\\\\2\\\\0\\end{array}\\right)$,\n$\\vec{v} = \\left(\\begin{array}{c}0\\\\1\\\\3\\end{array}\\right)$ et\n$\\vec{w} = \\left(\\begin{array}{c}1\\\\1\\\\1\\end{array}\\r... | $4$ | intermediate | false | 2753 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre de quatre manières différentes le système suivant\n(par substitution, par la méthode du pivot de Gauss,\nen inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer)~:\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{ccccc}2x & + & y & = & 1\\\\ 3x & + & 7y & = & -2 \\end{array}\\... | $(\frac{9}{11}, -\frac{7}{11})$ | intermediate | false | 2768 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ la matrice $A = \\begin{pmatrix}a & 2 & -1 & b\\\\ 3 & 0 & 1 & -4\\\\ 5 & 4 & -1 & 2\\end{pmatrix}$ a-t-elle un rang égal à $2$ ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement ... | $(a,b) = (1,3)$ | intermediate | true | 2774 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la dérivée complexe de la fonction $f(z) = \\frac{1}{z}$ sur $\\mathbb{C} \\setminus \\{0\\}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $f'(z) = -\frac{1}{z^2}$ | intermediate | true | 2783 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\binom{n}{j-1} + \\binom{n}{j}$ pour $1 \\leq j \\leq n$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\binom{n}{j-1} + \binom{n}{j} = \binom{n+1}{j}$ | advanced | true | 2787 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f$ une fonction dérivable au sens complexe sur $\\mathbb{C}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. Calculer $f(z)$ pour tout $z \\in \\mathbb{C}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse final... | $f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$ | advanced | true | 2793 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\\mathbb{C}$ vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$. Calculer $f(z)$ pour tout $z \\in \\mathbb{C}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$ | advanced | true | 2793 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\mathrm{Log}(z)$ la fonction logarithme complexe définie sur $\\Omega$. Exprimer le reste $R_N(z)$ de son développement en série entière en $1$ sous forme d'une intégrale explicite.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...}... | $R_N(z) = (-1)^N (z-1)^{N+1} \int_0^1 \frac{t^N}{1+t(z-1)} dt$ | advanced | true | 2824 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $z \\in \\mathbb{C}$ tel que $\\Re(z) \\geq \\delta$ pour un certain $\\delta \\in ]0,1[$. Majorer le reste $R_N(z)$ de la série de Taylor de $\\mathrm{Log}(z)$ en $1$ à l'ordre $N$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} »... | $|R_N(z)| \leq \frac{1}{\delta} \frac{|z-1|^{N+1}}{N+1}$ | advanced | true | 2824 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer les séries de Laurent et les\nrésidus à l'origine des fonctions suivantes:\n$f(z) = \\frac1z$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1$ | intermediate | false | 2832 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Que vaut $\\int_{|z| = N} \\tan(\\pi z) \\,dz$, pour $N\\in\\mathbb{N}$, $N\\geq1$?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-4iN$ | advanced | false | 2847 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer pour $A, B, C$ réels, avec $A^2 > B^2 + C^2$ la\nvaleur de :\n\\[ \\frac1{2\\pi}\\int_0^{2\\pi} \\frac{d\\theta}{A + B\\sin\\theta + C\\cos\\theta}\\]\nOn aura intérêt, comme première étape, à poser $B =\nR\\cos\\phi$, $C=R\\sin\\phi$, mais on peut aussi se frotter\n... | $\frac{1}{\sqrt{A^2 - R^2}}$ | advanced | false | 2848 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\lim_{R\\to\\infty} \\left| \\int_{C_R} f(z) e^{iz} \\, dz \\right|$ où $C_R$ est le demi-cercle supérieur de rayon $R$, sous les hypothèses données.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la r... | $0$ | advanced | true | 2859 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\int_0^\\infty \\frac{dx}{1+x^n}$ pour $n \\in \\mathbb{N}$, $n > 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\frac{\pi}{n}}{\sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}$ | advanced | true | 2879 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\int_0^\\infty \\frac{dx}{1+x^a}$ pour $a > 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\frac{\pi}{a}}{\sin\left(\frac{\pi}{a}\right)}$ | advanced | true | 2879 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $J(a) = \\int_0^\\infty \\frac{dx}{1+x^a}$ pour $\\Re(a) > 1$. Calculer $J(a)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $J(a) = \frac{\frac{\pi}{a}}{\sin\left(\frac{\pi}{a}\right)}$ pour $\Re(a) > 1$ | advanced | true | 2879 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $K(p) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{e^{pt}}{1+e^t}dt$ pour $0 < p < 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi}{\sin(\pi p)}$ | advanced | true | 2879 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $K(p) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{e^{pt}}{1+e^t}dt$ pour $0 < \\Re(p) < 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\pi}{\sin(\pi p)}$ | advanced | true | 2879 | 5 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $K(p) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{e^{pt}}{1+e^t}dt$ pour $0 < \\Re(p) < 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $K(p) = \frac{\pi}{\sin(\pi p)}$ | advanced | true | 2879 | 6 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $K(p) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{e^{pt}}{1+e^t}dt$ pour $0 < \\Re(p) < 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $K(p) = \frac{\pi}{\sin(\pi p)}$ | advanced | true | 2879 | 7 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $K(p) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{e^{pt}}{1+e^t}dt$ pour $0 < \\Re(p) < 1$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $K(p) = \frac{\pi}{\sin(\pi p)}$ | advanced | true | 2879 | 8 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soient $n,p \\in \\mathbb{N}^*$. Simplifier $\\sum_{k=0}^p\\,(-1)^kC_n^k$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $(-1)^p C_{n-1}^p$ | advanced | false | 2902 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $n \\in \\mathbb{N}$ fixé. Déterminer pour quelle valeur de $p$ le nombre\n$C_n^p$ est maximal (on étudiera le rapport $C_n^p/C_n^{p+1}$).\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
... | $p = \left[\frac{n+1}{2}\right]$ | intermediate | false | 2907 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "On doit placer autour d'une table ronde un groupe de $2n$ personnes, $n$ hommes\net $n$ femmes, qui constituent $n$ couples.\nCombien existe-t-il de dispositions $\\ldots$\nau total ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » co... | $(2n)!$ | intermediate | false | 2913 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "On doit placer autour d'une table ronde un groupe de $2n$ personnes, $n$ hommes\net $n$ femmes, qui constituent $n$ couples.\nCombien existe-t-il de dispositions $\\ldots$\nen respectant l'alternance des sexes ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne «... | $2(n!)^2$ | intermediate | false | 2913 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "On doit placer autour d'une table ronde un groupe de $2n$ personnes, $n$ hommes\net $n$ femmes, qui constituent $n$ couples.\nCombien existe-t-il de dispositions $\\ldots$\nsans séparer les couples ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \... | $2^{n+1} \times n!$ | intermediate | false | 2913 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "On doit placer autour d'une table ronde un groupe de $2n$ personnes, $n$ hommes\net $n$ femmes, qui constituent $n$ couples.\nCombien existe-t-il de dispositions $\\ldots$\nen remplissant les deux conditions précédentes ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par u... | $4 \times n!$ | intermediate | false | 2913 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Quel est le nombre de parties à $p$ éléments de $\\{1, \\dots, n\\}$\n ne contenant pas d'éléments consécutifs ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\binom{n-p+1}{p}$ | intermediate | false | 2918 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $R_n$ le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments. Déterminer une formule explicite ou une relation de récurrence pour $R_n$ en fonction des $R_k$ avec $k < n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...... | $R_n = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} R_k$ avec $R_0 = 1$ | advanced | true | 2919 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soient $a,b \\in \\mathbb{U}$ distincts et $z \\in \\mathbb{C}$. On pose $u = \\frac{z + ab\\overline{z} - a - b}{a - b}$. Déterminer la relation entre $\\overline{u}$ et $u$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant ... | $\overline{u} = -u$ | advanced | true | 2927 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $A$, $B$, $M$ trois points d'affixes respectives $a$, $b$, $z$. Déterminer l'affixe du symétrique $M'$ de $M$ par rapport à la droite $(AB)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale.... | $\frac{b-a}{\overline{b} - \overline{a}} \cdot \bar{z} + \frac{a\overline{b} - b\overline{a}}{\overline{b} - \overline{a}}$ | advanced | true | 2934 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soient $u,v \\in \\mathbb{C}$ tels que $u+v \\ne 0$. Déterminer la condition nécessaire et suffisante sur $u$ et $v$ pour que les nombres $x = \\frac{1+uv}{u+v}$, $y = i\\frac{1-uv}{u+v}$, et $z = \\frac{u-v}{u+v}$ soient tous trois réels.\n\nRésous l'exercice étape par étape, ... | $u = \frac{1}{\overline{v}}$ | advanced | true | 2938 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre :\n$(z+1)^n = (z-1)^n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $z = -i\cot\left(\frac{k\pi}{n}\right)$ pour $k \in \{1, 2, \dots, n-1\}$ | intermediate | false | 2939 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre :\n$z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $z = \exp\left(\frac{(2k+1)i\pi}{5}\right)$ pour $k = 0,1,3,4$ | intermediate | false | 2939 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre :\n$\\left(\\frac{1+ix}{1-ix}\\right)^n = \\frac{1+i\\tan a}{1-i\\tan a}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $x = \tan\left(\frac{a + 2k\pi}{n}\right)$ | advanced | false | 2939 | 5 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\omega = \\exp\\frac {2i\\pi}n$. Calculer :\n$\\sum_{k=0}^{n-1} (1+\\omega^k)^n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2n$ | advanced | false | 2940 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\omega = \\exp\\frac {2i\\pi}n$. Calculer :\n$\\sum_{k=0}^{n-1}\\sum_{\\ell=k}^{n-1} C_\\ell^k \\omega^{k+\\ell}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{1 - (1+\omega)^n}{1 - \omega - \omega^2}$ | advanced | false | 2940 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer $\\sin\\frac{2\\pi}{7} + \\sin\\frac{4\\pi}{7} + \\sin\\frac{8\\pi}{7}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\sqrt{7}}{2}$ | advanced | true | 2943 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Simplifier $x = \\prod_{p=2}^n\\frac {p^3-1}{p^3+1}$ en utilisant $1,j,j^2$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{2(n^2+n+1)}{3n(n+1)}$ | advanced | false | 2944 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Comment faut-il choisir $m \\in \\mathbb{C}$ pour que l'équation :\n$z^2 - (2+im)z - (1+im) = 0$ admette deux racines imaginaires conjuguées ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
... | $m=2i$ | advanced | false | 2948 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soient $\\alpha, \\beta \\in \\mathbb{C}$, $m = \\frac{\\alpha + \\beta}{2}$ et $\\mu$ une racine carrée de $\\alpha\\beta$. Calculer $|m + \\mu| + |m - \\mu|$ en fonction de $|\\alpha|$ et $|\\beta|$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse :... | $|\alpha| + |\beta| = |m + \mu| + |m - \mu|$ | advanced | true | 2950 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "A l'aide de formules du binôme, simplifier :\n$\\sum_{k=0}^{[n/3]}\\,C_n^{3k}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{2^n + 2\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)}{3}$ | advanced | false | 2951 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "A l'aide de formules du binôme, simplifier :\n$\\sum_{k=0}^{[n/2]}\\,C_n^{2k}(-3)^k$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2^n\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)$ | advanced | false | 2951 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "A l'aide de formules du binôme, simplifier :\n$\\sum_{k=0}^n\\,C_n^k\\cos(k\\theta)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\left(2\cos\frac{\theta}{2}\right)^n\cos\frac{n\theta}{2}$ | advanced | false | 2951 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "A l'aide de formules du binôme, simplifier :\n$\\sum_{k=0}^n\\,C_n^k\\sin\\bigl((k+1)\\theta\\bigr)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\left(2\cos\frac{\theta}{2}\right)^n\sin\frac{(n+2)\theta}{2}$ | advanced | false | 2951 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "A l'aide de formules du binôme, simplifier :\n$\\cos a + C_n^1\\cos(a+b) + C_n^2\\cos(a+2b) + \\dots + C_n^n\\cos(a+nb)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\left(2\cos\frac{b}{2}\right)^n\cos\left(a+\frac{nb}{2}\right)$ | advanced | false | 2951 | 5 |
[
{
"role": "user",
"content": "Simplifier :\n$\\sum_{k=0}^n\\,k\\cos(k\\theta)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{n\sin\left(\frac{(2n+1)\theta}{2}\right)\sin\frac{\theta}{2} - \sin^2\frac{n\theta}{2}}{2\sin^2\frac{\theta}{2}}$ | advanced | false | 2952 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Simplifier :\n$\\sum_{k=1}^n\\, \\sin^3(k\\theta)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{3\sin(n\theta/2)\sin\bigl((n+1)\theta/2\bigr)}{4\sin(\theta/2)} - \frac{\sin(3n\theta/2)\sin\bigl(3(n+1)\theta/2\bigr)}{4\sin(3\theta/2)}$ | advanced | false | 2952 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\theta \\in \\mathbb{R}$.\nSimplifier $\\cos^4\\theta + \\cos^4\\left(\\theta + \\frac \\pi4\\right) +\n \\cos^4\\left(\\theta + \\frac {2\\pi}4\\right) +\n \\cos^4\\left(\\theta + \\frac {3\\pi}4\\right)$.\n\nRésous l'exercice étape par éta... | $\frac{3}{2}$ | intermediate | false | 2954 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\theta \\in \\mathbb{R}$.\nSimplifier $\\cos^6\\theta + \\cos^6\\left(\\theta + \\frac \\pi6\\right) + \\dots +\n \\cos^6\\left(\\theta + \\frac {5\\pi}6\\right)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » ... | $\frac{15}{8}$ | advanced | false | 2954 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\theta \\in \\mathbb{R}$.\nSimplifier $\\cos^{2p}\\theta + \\cos^{2p}\\left(\\theta + \\frac \\pi{2p}\\right)\n + \\dots + \\cos^{2p}\\left(\\theta + \\frac {(2p-1)\\pi}{2p}\\right)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Répon... | $\frac{p \binom{2p}{p}}{2^{2p-1}}$ | advanced | false | 2954 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre en $x$ :\n$x^n + C_n^1x^{n-1}\\cos\\alpha + \\dots + C_n^n\\cos(n\\alpha) = 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $x = \mathrm{cotan}\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)\sin\alpha - \cos\alpha$ | advanced | false | 2956 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Calculer la somme $\\sum_{k=1}^n \\frac{1}{2^k \\cos\\theta \\cos2\\theta \\cos4\\theta \\dots \\cos2^{k-1}\\theta}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{\sin\bigl((2^n-1)\theta\bigr)}{\sin(2^n\theta)}$ | advanced | true | 2957 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Mêmes questions avec $E = ]-\\infty, 1[$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $x^{-1} = \frac{x}{x-1}$ | intermediate | false | 2960 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$. Quelle inégalité relie le cardinal minimal $p$ d'une partie génératrice de $G$ au nombre $n$ ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $n \ge 2^p$ | advanced | true | 3003 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $A$ un anneau et $a,b \\in A$. Si $1-ab$ est inversible d'inverse $c$, exprimer un inverse de $1-ba$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $1+bca$ | advanced | true | 3012 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $E$ un ensemble ordonné tel que toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. Soit $A$ une partie non vide et minorée de $E$, et soit $B$ l'ensemble des minorants de $A$. Déterminer la borne inférieure de $A$ en fonction de $\\sup(B)$.\n\nRésous l'exercice é... | $\beta = \max(B)$ | intermediate | true | 3042 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "On définit sur $\\mathbb{R}^2$ : $(x,y) \\ll (x',y') \\iff |x'-x| \\le y'-y$.\nSoit $A = \\{ (x,y) \\in \\mathbb{R}^2$ tq $x^2 + y^2 \\le 1 \\}$.\n Déterminer $\\sup(A)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant u... | $(0, \sqrt{2})$ | advanced | false | 3043 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $a \\in \\mathbb{Q}^+$ tel que $\\sqrt{a} \\notin \\mathbb{Q}$. Déterminer une constante $C > 0$ telle que pour tout rationnel $r = \\frac{p}{q}$, on ait $\\left|r - \\sqrt{a}\\right| \\ge \\frac{C}{q^2}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « ... | $C = \frac{1}{n(2\sqrt{a}+1)}$ | advanced | true | 3066 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre $\\begin{cases} u_{n+2} = \\frac 12(u_{n+1} + u_n)\\\\\n u_0 = a,\\ u_1 = b.\\\\\\end{cases}$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $u_n = \frac{1}{3}\left((a+2b) + 2(a-b)\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)$ | intermediate | false | 3068 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre : $v_{n+2} = \\sqrt{v_{n+1} v_n}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $v_n = \lambda \times \mu^{(-\frac{1}{2})^n}$ | intermediate | false | 3068 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre : $$\\begin{cases} u_{n+2} - u_n = n-1 \\\\ u_0 = u_1 = 0.\\end{cases}$$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $u_n = \frac{n^2}{4} - n + \frac{3}{8}(1 - (-1)^n)$ | intermediate | false | 3069 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre : $u_{n+2} + u_{n+1} + u_n = n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $u_n = \frac{n-1}{3} + a j^n + b j^{2n}$ | intermediate | false | 3069 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $\\sigma \\in {\\cal S}_n$. On note $c$ le nombre de cycles à supports disjoints\nconstituant $\\sigma$, et $f$ le nombre de points fixes.\n\nCalculer $\\epsilon(\\sigma)$ en fonction de $n$, $c$, et $f$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « R... | $(-1)^{n+c+f}$ | intermediate | false | 3078 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $$\\sigma = \\begin{pmatrix}1 &2 &3 &\\dots &n &n+1 &n+2 &\\dots &2n \\\\\n 1 &3 &5 &\\dots &2n-1 &2 &4 &\\dots &2n \\end{pmatrix}.$$\nCalculer $\\varepsilon(\\sigma)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse... | $(-1)^{n(n-1)/2}$ | advanced | false | 3082 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer toutes les permutations $\\rho \\in \\mathcal{S}_n$ telles que $\\rho \\circ \\sigma \\circ \\rho^{-1} = \\sigma$, où $\\sigma = (1\\ 2\\ \\dots\\ n)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la... | $\sigma^k$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$ | advanced | true | 3084 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Quel est le dernier chiffre de $7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}}$ ?\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $3$ | advanced | false | 3095 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer le reste de la division euclidienne de $2^{10n-7} + 3^{5n-2}$ par\n$11$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $2$ | intermediate | false | 3098 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Résoudre : $$\\begin{cases}x^2+y^2 = 85113\\\\ x\\vee y = 1764.\\end{cases}$$\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\{147, 252\}$ | intermediate | false | 3117 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Soient $a_1, \\dots, a_n \\in \\mathbb{N}^*$ et $b_i = \\prod_{j \\ne i} a_j$. Calculer $\\text{pgcd}(a_1, \\dots, a_n) \\times \\text{ppcm}(b_1, \\dots, b_n)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la r... | $\prod_{i=1}^n a_i$ | advanced | true | 3131 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "On note $M_n = 2^n - 1$ ($n$-ième nombre de Mersenne).\nVérifier que $M_{11}$ n'est pas premier.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $M_{11} = 23 \times 89$ | intermediate | false | 3136 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $x=\\frac pq \\in \\mathbb{Q}^*$ avec $p,q$ entiers, $q\\ge 1$, $p\\wedge q = 1$.\nCalculer $\\sum_{k=0}^{q-1} \\text{frac}(kx)$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{q-1}{2}$ | intermediate | false | 3144 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer $x \\in \\mathbb{Q}$ sachant que :\n$2x^3-x^2+x+1 = 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $-\frac{1}{2}$ | intermediate | false | 3149 | 1 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer $x \\in \\mathbb{Q}$ sachant que :\n$6x^5+11x^4-x^3+5x-6 = 0$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{2}{3}$ | intermediate | false | 3149 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer une relation entre $a$, $b$, $m$ et $n$ à partir des conditions $pq' = m^a n^b$, $p'q = m^b n^a$, $m \\wedge n = 1$, et $a < b$, où $p, p', q, q'$ sont des entiers positifs non nuls et $d = \\gcd(pq', p'q) = m^a n^a$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termin... | $b - a = m^{b-a} - n^{b-a}$ | advanced | true | 3150 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $n \\geq 3$. Calculer la somme $\\sum_{\\substack{x=1 \\\\ \\gcd(x,n)=1}}^{n} x$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $\frac{n\varphi(n)}{2}$ | intermediate | true | 3163 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Déterminer explicitement le polynôme $P \\in \\mathbb{R}_{2n-1}[X]$ tel que $P(X)+1$ soit divisible par $(X-1)^n$ et $P(X)-1$ divisible par $(X+1)^n$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse fin... | $P(X) = -1 + A(X+1)(X-1)^n$ où $A(X) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n+k-1}{k} (-1)^n \frac{X^k}{2^{n+k-1}}$ | advanced | true | 3167 | null |
[
{
"role": "user",
"content": "Chercher une relation de récurrence entre $P_n'$ et $P_{n-1}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $P_n' = nP_{n-1}$ | intermediate | false | 3181 | 2 |
[
{
"role": "user",
"content": "Décomposer $P_n(X+1)$ sur la base $(P_k)_{k \\in \\mathbb{N}}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $P_n(X+1) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} P_k$ | advanced | false | 3181 | 3 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $Q_n(X) = P_n(1-X)$. Exprimer $Q_n(X) + Q_n(X+1)$ en fonction de $n$ et $X$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
}
] | $Q_n(X) + Q_n(X+1) = 2(-1)^nX^n$ | advanced | true | 3181 | 4 |
[
{
"role": "user",
"content": "Soit $f(x) = \\sum_{k=1}^{100} \\frac{k}{x-k}$. Calculer la somme des longueurs des intervalles de $\\{x \\in \\mathbb{R} \\mid f(x) \\ge 1\\}$.\n\nRésous l'exercice étape par étape, puis termine par une ligne « Réponse : \\boxed{...} » contenant uniquement la réponse finale."
... | $5050$ | advanced | true | 3191 | null |
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